Namens Jahrtausendprobleme Es gibt sieben mathematische Probleme, die von der gestellt werden Institut für Lehmmathematik im Jahr 2000 als Herausforderung für die mathematische Gemeinschaft. Die versprochene Belohnung ist eine Million Dollar für jedes dieser Probleme, wenn sie gelöst werden. Bisher wurde jedoch nur einer davon nachgewiesen. Diese Probleme zählen zu den komplexesten in der aktuellen Mathematik und ihre Lösung könnte bedeutende Fortschritte nicht nur in der Mathematik, sondern auch in verwandten Bereichen wie Physik, Informatik und Kryptographie bedeuten.
Was sind die Millenniumsprobleme?
Die Jahrtausendprobleme Dabei handelt es sich um eine Reihe von Vermutungen oder mathematischen Aussagen, für die bestätigt wurde, dass sie mit bekannten Beweisen übereinstimmen, für die jedoch noch keine Lösung gefunden wurde. strenger mathematischer Beweis das bestätigt sie. Um eines dieser Probleme zu lösen, muss man die Aussage nicht nur gründlich verstehen, sondern auch ihre Richtigkeit auf einer soliden mathematischen Grundlage nachweisen. Davon zeugt die Tatsache, dass bislang nur eines dieser Probleme gelöst werden konnte Schwierigkeit davon.
El Institut für Lehmmathematik stellte diese Probleme, um den Fortschritt mathematischer Kenntnisse zu fördern. Wenn ein Problem gelöst wird, bietet das Institut nicht nur das Prestige, einige der komplexesten Fragen der modernen Mathematik gelöst zu haben, sondern auch eine Belohnung eine Million Dollar. Insgesamt wurden zunächst sieben Herausforderungen vorgeschlagen, von denen bisher nur eine gelöst wurde. Sehen wir uns unten an, woraus diese Probleme bestehen.
Poincaré-Vermutung
La Poincaré-Vermutung Es ist das einzige Millenniumsproblem, das bisher gelöst wurde. Es wurde 1904 vom französischen Mathematiker Henri Poincaré vorgeschlagen und stellte eine Hypothese auf dem Gebiet auf Topologie, bezogen auf die Charakterisierung der dreidimensionalen Kugel. Die Vermutung besagt, dass jede dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die einfach verbunden ist, homöomorph zu einer dreidimensionalen Kugel sein muss.
Die Vermutung wurde schließlich vom russischen Mathematiker gelöst Grigori Perelmann im Jahr 2002, der seine Beweise auf unkonventionelle Weise veröffentlichte: Er veröffentlichte sie online, anstatt sie bei einer wissenschaftlichen Zeitschrift einzureichen. Obwohl es zunächst Skepsis gegenüber seinem Ansatz gab, wurde seine Arbeit von anderen Mathematikern verifiziert und 2006 erhielt er den Fields-Medaille. Perelman lehnte jedoch sowohl den Preis als auch die vom Clay Institute angebotene Million Dollar ab.
P gegen NP
Eines der bekanntesten Probleme von Computertheorie wird genannt P gegen NP. Dieses mathematische Rätsel wirft die Frage auf, ob alle Probleme, die schnell verifiziert werden können, auch schnell gelöst werden können. Formaler ausgedrückt besteht das Problem darin, zu definieren, ob P (die Menge der Probleme, die in polynomieller Zeit gelöst werden können) gleich NP (die Menge von Problemen, deren Ergebnisse in polynomieller Zeit verifiziert werden können) ist.
Die Lösung dieses Problems hätte revolutionäre Auswirkungen auf mehrere Bereiche, darunter Kryptographie, die künstliche Intelligenz und Optimierung. Wenn P gleich NP wäre, könnten viele Aufgaben, die für Computer heutzutage enorm kompliziert sind, wie das Entschlüsseln von Passwörtern, Kryptographie oder die Lösung komplizierter Optimierungsprobleme könnte in viel kürzerer Zeit erledigt werden.
Hodges Vermutung
La Hodge-Vermutung entsteht im Bereich algebraische Geometrie und algebraische Topologie. Im Allgemeinen heißt es, dass für eine komplexe projektive algebraische Varietät bestimmte Zyklen, die in der de Rham-Kohomologie vorkommen, eine Entsprechung mit haben algebraische Klassen von Unterarten. Diese algebraischen Zyklen wären rationale Linearkombinationen algebraischer Untermannigfaltigkeiten.
Eine der größten Herausforderungen bei dieser Vermutung besteht darin, dass es sich um ein Gebiet handelt, an dem beide Disziplinen beteiligt sind, und dass die für ihre Lösung erforderlichen Werkzeuge möglicherweise nicht ausschließlich diesen gehören algebraisches Feld o DifferentialSie erfordern jedoch weitaus umfassendere und komplexere Techniken.
Riemannsche Hypothese
1859 vom deutschen Mathematiker aufgestellt Bernhard RiemannDiese Hypothese ist eines der ältesten und rätselhaftesten mathematischen Probleme. Der Riemannsche Hypothese bezieht sich auf die Verteilung von Primzahlen und besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Wert 1/2 als Realteil haben.
Die Riemannsche Zetafunktion hat eine sehr enge Beziehung zu Primzahlen, und wenn diese Hypothese bewiesen wäre, wäre ein tieferes Verständnis der Verteilung von Primzahlen. Viele Mathematiker glauben, dass die Hypothese richtig ist, und es wurden Billionen von Nullstellen berechnet, die zu der Vermutung passen, aber bisher konnte kein vollständiger Beweis erbracht werden.
Existenz von Yang-Mills und Massensprung
La Yang-Mills-Theorie Es ist ein entscheidender Teil der Teilchenphysik und der Quantenfeldtheorie. Es war ursprünglich zur Modellierung des strukturiert elektromagnetisches Feld und wurde später auf die Quantenchromodynamik angewendet, die die Wechselwirkungen zwischen Quarks und Gluonen im Atomkern beschreibt. Das mathematische Problem besteht darin, die Existenz und absolute Gültigkeit der Yang-Mills-Gleichungen nachzuweisen und zu verstehen, wie die Gleichung erzeugt wird. Massenlücke.
Das Phänomen der Massenlücke bezieht sich darauf, warum masselose Teilchen wie Gluonen in ihrer klassischen Form in der Quantentheorie eine endliche Masse annehmen. Obwohl bisher Simulationen auf Supercomputern durchgeführt wurden, die die Vermutung stützen, ist ein schlüssiger mathematischer Beweis noch immer ausgeblieben.
Die Navier-Stokes-Gleichungen
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind eine Reihe von Gleichungen, die das beschreiben flüssige Bewegung wie Flüssigkeiten und Gase. Diese im 19. Jahrhundert formulierten Gleichungen sind von grundlegender Bedeutung für das Verständnis der Fluiddynamik, von Luftströmungen, die Flugzeuge beeinflussen, bis hin zu Wettermustern und Meeresströmungen. Allerdings ist die Komplexität dieser Gleichungen hat es Mathematikern nicht ermöglicht, bestimmte Verhaltensweisen vollständig zu verstehen, etwa die Bildung von Turbulenzen oder den Übergang von laminaren Strömungen zu turbulenten Strömungen.
Die mathematische Herausforderung besteht darin, unter bestimmten Anfangsbedingungen zu zeigen, ob eine glatte Lösung (also ohne Singularitäten) der Navier-Stokes-Gleichungen über die Zeit aufrechterhalten werden kann oder ob im Gegenteil Singularitäten auftreten, die ihre Kontinuität beeinträchtigen.
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
dieser erraten, vorgeschlagen von englischen Mathematikern Bryan Birke y Peter Swinnerton-Dyer In den 1960er Jahren beschäftigt er sich mit rationalen Lösungen für die Elliptische Kurven. Elliptische Kurven sind algebraische Objekte, die in ihrer einfachsten Version als Linien in der Ebene dargestellt werden können Zahlentheorie ordnet diesen Kurven eine Reihe arithmetischer Eigenschaften zu.
Die Vermutung legt nahe, dass es eine Möglichkeit gibt, anhand bestimmter Eigenschaften zu bestimmen, ob eine elliptische Kurve endlich oder unendlich viele rationale Lösungen hat L-Funktion. Die Lösung dieses Problems würde wichtige Fortschritte in Bereichen wie der Kryptographie erfordern, da elliptische Kurven in vielen modernen Verschlüsselungssystemen von grundlegender Bedeutung sind.
Die Lösung eines dieser Probleme wäre eine beispiellose Errungenschaft und würde die Mathematik verändern und darüber hinaus reiche finanzielle Belohnungen und ewige akademische Verdienste mit sich bringen.