So faktorisieren Sie Polynome: Techniken und praktische Beispiele

La Faktorisierung eines algebraischen Ausdrucks Es ist das Verfahren, mit dem der Ausdruck als Multiplikation einfacherer Faktoren geschrieben wird. Mit anderen Worten, beim Faktorisieren von PolynomenZiel ist es, Terme zu finden, die bei Multiplikation denselben algebraischen Ursprungsausdruck ergeben.

Dieser Prozess ist in der Algebra von größter Bedeutung, da er die Vereinfachung und Handhabung von Gleichungen ermöglicht. Darüber hinaus besteht eines der wichtigsten Ziele bei der Faktorisierung eines Polynoms darin, es als darzustellen Produkt anderer Polynome niedrigeren Grades.

Um das Konzept besser zu verstehen, betrachten wir ein einfaches Beispiel:

Algebraischer Ausdruck: x(x + y)

Durch Multiplikation der Terme dieses Ausdrucks erhalten wir:

x² +xy

Auf diese Weise: x(x + y) = x² +xy

La Faktorisierung Es ist nicht nur nützlich, weil es die Problemlösung vereinfacht, sondern auch, weil es Ihnen ermöglicht, Eigenschaften und Beziehungen zwischen den Termen eines algebraischen Ausdrucks zu identifizieren.

Der gemeinsame Faktor

Bevor Sie mit Faktorisierungstechniken beginnen, ist es wichtig zu verstehen, was der Begriff bedeutet. gemeinsamer Faktor. Durch die Suche nach dem gemeinsamen Faktor innerhalb eines Polynoms wollen wir einen Term identifizieren, der in allen Termen des Ausdrucks wiederholt wird, und uns so dessen Vereinfachung ermöglichen.

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass Factoring nicht immer möglich ist. Um faktorisieren zu können, muss es mindestens einen gemeinsamen Begriff geben, mit dem man arbeiten kann. Andernfalls kann es nicht weiter vereinfacht werden.

Zum Beispiel im Ausdruck:

xa + yb + zc

Es gibt keine gemeinsamer Faktor zwischen den Termen, so dass eine Faktorisierung nicht durchgeführt werden kann.

Schauen wir uns einen anderen Fall an, in dem es machbar ist:

a²x + a²y

Der gemeinsame Faktor hier ist a². Der Einfachheit halber dividieren wir beide Terme durch diesen gemeinsamen Faktor:

• a²x wird durch a geteilt², was x ergibt
• a²y wird durch a geteilt², was es gibt und

Schließlich lautet der faktorisierte Ausdruck:

a²(x+y)

Verwendung des gemeinsamen Faktors beim Faktorisieren von Polynomen

In vielen Fällen haben einige Terme eines Polynoms ein gemeinsamer Faktor, während andere dies nicht tun. In diesen Szenarien sollte Folgendes getan werden: Begriffsgruppierung, sodass die gruppierten Begriffe einen gemeinsamen Faktor haben.

Zum Beispiel im Ausdruck:

xa + ya + xb + yb

Wir können die Begriffe auf unterschiedliche Weise gruppieren:

(xa + ya) + (xb + yb)

Wenn wir die gruppierten Begriffe analysieren, können wir einen gemeinsamen Faktor in jeder Gruppe beobachten:

a(x + y) + b(x + y)

Schließlich können wir den Ausdruck wie folgt faktorisieren:

(x + y)(a + b)

Diese Technik wird „Gruppierungsfaktorisierung“ genannt und ermöglicht es Ihnen, Polynome zu vereinfachen, auch wenn nicht alle Terme denselben gemeinsamen Faktor haben. Es ist zu beachten, dass es mehr als eine Möglichkeit zur Gruppierung gibt und das Ergebnis immer das gleiche ist. Im selben Fall hätten wir die Begriffe beispielsweise wie folgt gruppieren können:

(xa + xb) + (ja + yb)

Was wiederum zu Folgendem führt:

x(a + b) + y(a + b)

Am Ende erhalten wir das gleiche Ergebnis:

(a + b)(x + y)

Dieser Prozess wird durch das Kommutativgesetz unterstützt, das besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren das Endprodukt nicht verändert.

Fortgeschrittene Methoden: Factoring mit bemerkenswerten Produkten

Es gibt andere Methoden zur Faktorisierung von Polynomen, darunter die bemerkenswerte Produkte. Die häufigsten bemerkenswerten Produkte sind die perfektes quadratisches Trinom und Trinom der Form x² + bx + c. Es gibt auch andere bemerkenswerte Produkte, die jedoch eher auf Binomiale angewendet werden.

Perfektes quadratisches Trinom

Un perfektes quadratisches Trinom Es handelt sich um ein aus drei Termen bestehendes Polynom, das das Ergebnis der Quadrierung eines Binomials ist. Die Regel besagt, dass der Prozess dieser Struktur folgt: das Quadrat des ersten Termes plus das Doppelte des ersten Termes mal den zweiten Term plus das Quadrat des zweiten Termes.

Um ein perfektes quadratisches Trinom zu faktorisieren, gehen wir folgendermaßen vor:

• Wir ziehen die Quadratwurzel aus dem ersten und dritten Term.
• Wir trennen die Wurzeln durch das Vorzeichen, das dem zweiten Term entspricht.
• Wir quadrieren das gebildete Binomial.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

4a² – 12ab + 9b²

• Quadratwurzel aus 4a²: 2a
• Quadratwurzel von 9b²: 3b

Das Trinom wird wie folgt faktorisiert:

(2a – 3b)²

Trinom der Form x² + bx + c

Diese Art von Trinom hat spezifische Eigenschaften, die eine einfachere Faktorisierung ermöglichen. Damit ein Trinom dieser Form faktorisierbar ist, muss es die folgenden Kriterien erfüllen:

• Der Koeffizient des ersten Terms muss 1 sein.
• Der erste Term muss eine quadrierte Variable sein.
• Der zweite Term hat dieselbe Variable, ist aber nicht quadriert (er hat einen Exponenten 1).
• Der Koeffizient des zweiten Termes kann positiv oder negativ sein.
• Der dritte Begriff ist eine Zahl, die nicht direkt mit den vorherigen zusammenhängt.

Ein Beispiel für diese Faktorisierung wäre das folgende Trinom:

x² +9x +14

Um es zu berücksichtigen, gehen Sie wie folgt vor:

• Wir zerlegen das Trinom in zwei Binome.
• Der erste Term jedes Binomials ist die Quadratwurzel des ersten Termes des Trinoms (in diesem Fall „x“).
• Die Vorzeichen der Binome werden entsprechend der zweiten und dritten Größe des Trinoms (in diesem Fall positiv) zugewiesen.
• Wir suchen nach zwei Zahlen, die multipliziert 14 und addiert 9 ergeben (die Optionen sind 7 und 2).

Auf diese Weise ist das faktorisierte Trinom:

(x + 7) (x + 2)

Zusätzliche Methoden: Faktorsatz und Ruffinis Regel

El Faktorsatz besagt, dass ein Polynom durch ein Polynom der Form (x – a) teilbar ist, wenn bei der Auswertung des ursprünglichen Polynoms für x = a das Ergebnis 0 ist. Dieser Satz ist nützlich, um Wurzeln von Polynomen zu finden und erleichtert die Faktorisierung. Es wird oft in Kombination mit verwendet Ruffinis Regel, eine vereinfachte Methode zur Durchführung von Polynomdivisionen.

Diese Werkzeuge sind besonders nützlich, wenn Sie mit Polynomen vom Grad 3 oder höher arbeiten, bei denen es nicht möglich ist, einfache Methoden wie das perfekte quadratische Trinom oder notable Produkte anzuwenden.

Schließlich ist es wichtig zu beachten, dass nicht alle Polynome einfach faktorisiert werden können. In einigen Fällen ist es notwendig, auf fortgeschrittenere Methoden oder numerische Techniken zurückzugreifen, um die Wurzeln des Polynoms zu finden. Allerdings können die meisten Beispiele aus der Grundalgebra mit diesen Werkzeugen gelöst werden.

Faktorisieren ist ein leistungsstarkes Werkzeug in der Algebra, da es Ihnen ermöglicht, komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und Gleichungen effizienter zu lösen. Durch die Beherrschung der verschiedenen Methoden zur Faktorisierung von Polynomen können wir schnellere und effektivere Lösungen für eine Vielzahl von Problemen anwenden.